Isomorfisma

17 Jun 2010 Leave a Comment

by eena in matematika

Definisi 1
Misalkan G dan G’ grup. Pemetaan φ:G→G’ dinamakan homomorfisma grup apabila φ(ab)=φ(a)φ(b) untuk setiap a,b∈G.

Perhatikan bahwa ab pada ruas kiri merupakan operasi biner pada grup G sedangkan φ(a)φ(b) merupakan operasi biner pada grup G’.

Definisi 2
Misalkan φ:G→G’ homomorfisma grup.
φ dinamakan monomorfisma apabila φ injektif
φ dinamakan epimorfisma apabila φ surjektif
φ dinamakan isomorfisma apabila φ bijektif
φ dinamakan endomorfisma apabila G=G’
φ dinamakan automorfisma apabila G=G’ dan φ bijektif

Secara khusus dijelaskan mengenai definisi isomorfisma

Definisi Isomorfisma

Sebuah isomorfisma dari G ke G’ adalah fungsi satu-satu dan pada dari G ke G’ sedemikian sehingga
(ab)φ=(aφ)(bφ) untuk semua a,b∈G.
Grup G dan G’ dikatakan isomorf, dan diberi notasi G≃G’

Teorema 1
Jika φ:G → G’ suatu isomorfisma dari G ke G’, dan e adalah identitas dari G maka eφ identitas dari G’.
Dan juga φ= (aφ)^(-1)  untuk setiap a∈G

Bukti.
Misal x’ ∈G, karena φ pada maka terdapat x∈G sehingga xφ=x’.
Kemudian x’=xφ=(ex)φ=(eφ)(xφ)=(eφ)x’
Dengan cara yang sama diperoleh
x’=xφ=(xe)φ=(xφ)(eφ)=x’(eφ)
Jadi untuk semua  x’∈G kita dapatkan
(eφ) x’=x’=x’(eφ)
Sehingga eφ adalah identitas dari G’.

Selanjutnya untuk a∈G kita dapatkan
eφ=( a)φ=( φ)(aφ)
Dengan cara yang sama diperoleh
eφ=(a )φ=(aφ)( φ)
Akibatnya  ( φ)=(aφ)^(-1)

Menunjukkan Dua Grup Isomorf

• Definisikan fungsi φ yng akan memberikan suatu isomorfisma dari G ke G’. definisikan berupa apa xφ di G untuk semua x di G.
• Tunjukkan φ satu-satu
• Tujukkan φ pada
• Tunjukkan (ab)φ=(aφ)(bφ) untuk semua a,b∈G.

Contoh.
Tunjukkan bahwa 〈R,+〉 isomorf dengan 〈 ,.〉
Untuk x∈R, definisikan xφ=e^x. Ini merupakan pemetaan φ:R→
Jika xφ=yφ akibatnya sehingga x=y. Sehingga φ fungsi satu-satu.
Jika r∈ maka ln r∈R, kemudian (ln r )φ= =r. Sehingga φ fungsi pada.
Untuk x,y∈R, kita punya (x+y)φ===(xφ)(yφ).

Jadi, φ suatu isomorfisma.

Advertisement