Grup Siklik

17 Jun 2010 Leave a Comment

by eena in matematika

Definisi 1

Grup G dinamakan grup siklik jika terdapat a ϵ G sehingga  G= { | n ∈ Z }.
Selanjutnya, G={ | n ∈ Z }disimbolkan dengan 〈a〉  dan elemen a dinamakan
pembangun.

Contoh.
〈,+〉 merupakan grup siklik dengan pembangun 1  atau 2 atau 3  atau  4.

 

Definisi 2

Diketahui G grup dan a ∈ G. Order dari a didefinisikan sebagai banyaknya elemen 〈a〉
disimbolkan dengan |〈a〉 |. Jika 〈a〉 tak hingga maka dikatakan a berorder tak hingga.

Sifat Grup Siklik

Teorema 1
Setiap grup siklik merupakan grup abelian.

Bukti.

Misalkan G grup siklik dengan pembangun a.
Ambil sebarang x,y∈G
Maka terdapat bilangan bulat m dan n sehingga dan
Diperoleh

Jadi, G grup abelian.

Algoritma Pembagian

Jika m bilangan positif maka untuk sebarang bilangan bulat n terdapat dengan tunggal bilangan bulat q dan r sehingga n=mq+r dengan 0≤r<m.

Teorema 2
Setiap subgroup dari grup siklik adalah siklik

Bukti.
Misalkan G grup siklik dengan pembangun a dan H subgroup dari G.
Pandang sebagai dua kasus.

1. Jika H={e} maka H=〈e〉.
   Jadi H siklik
2. Misalkan H≠{e}
   Maka terdapat ∈H
   Misalkan m adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga ∈H
   Akan ditunjukkan:  H=〈 〉.
   Ambil sebarang x∈H
   Karena H<G maka x= untuk suatu bilangan bulat p.Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat bilangan bulat q dan r sehingga p=mq+r dengan 0≤r<m.
   Diperoleh,
   
   Karena ∈H dan H subgroup maka ∈H
   Jadi ∈H.Karena m bilangan bulat positif terkecil sehingga ∈H dan 0≤r<m maka haruslah r=0.
   Dengan demikian p=mq
   Sehingga, Jadi terbukti bahwa H=〈〉
   Bedasarkan (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa setiap subgroup dari grup siklik merupakan grup siklik.

Catatan: H<G dibaca H subgroup dari G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sumber: Struktur Aljabar 1 – Isnarto- S.Pd.- M.Si

Advertisement